De stelling van Bayes of de waarschijnlijkheid van oorzaken

De stelling van Bayes is een van de pijlers van de kansrekening . Het is een theorie die Thomas Bayes (1702-1761) in de 18e eeuw naar voren bracht. Maar wat is het doel van het onderzoek van deze beroemde wetenschapper? Waarschijnlijkheid drukt in een willekeurig proces de verhouding uit tussen het aantal gunstige gevallen en het aantal mogelijke gevallen.

Er zijn veel waarschijnlijkheidstheorieën ontwikkeld die ons bestaan ​​vandaag de dag bepalen. Als we naar de dokter gaan, schrijft hij het medicijn voor dat in ons geval het meest waarschijnlijk nuttig zal zijn, net zoals adverteerders hun campagnes wijden aan de mensen die het meest waarschijnlijk het product zullen kopen dat ze willen promoten of aan toeristen en reizigers die de route kiezen waar waarschijnlijk de minste wachtrij staat.

De wet van de totale waarschijnlijkheid is een van de bekendste, dus voordat we het over de wet hebben De stelling van Bayes we zullen een paar regels moeten wijden aan het uitleggen van het eerste. Om het te proberen te begrijpen, geef je gewoon een voorbeeld .

Wat is de kans (P) dat een willekeurig gekozen persoon uit de beroepsbevolking in dit land is werkloos ?

Volgens de waarschijnlijkheidstheorie zouden de gegevens als volgt worden uitgedrukt:

• De kans dat de persoon een vrouw is: P (M)
• De kans dat de persoon een man is: P (H)

Wetende dat 39% van de bevolking uit vrouwen bestaat, leiden we af dat: P (M) = 039.

Het is daarom duidelijk dat: P (H) = 1 – 039 = 061. Het probleem dat aan het begin werd gesteld, geeft ons ook de voorwaardelijke kansen:

• Waarschijnlijkheid dat iemand werkloos is, wetende dat hij of zij een vrouw is -> P (P | M) = 022
• Waarschijnlijkheid dat iemand werkloos is, wetende dat hij een man is – P (P | H) = 014

Met behulp van de wet van de totale waarschijnlijkheid wij zullen hebben:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P(P) = 022 × 039 014 × 061

P(P) = 017

De . We zien dat het resultaat halverwege tussen de twee voorwaardelijke kansen ligt (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Laten we de stelling van Bayes ontdekken

Stel nu dat een volwassene willekeurig wordt uitgekozen om een ​​formulier in te vullen en dat hij geen baan heeft. Wat is in dit geval, rekening houdend met het vorige voorbeeld, de kans dat deze willekeurig gekozen persoon een vrouw is -P (M | P) -?

Om dit probleem op te lossen passen we de stelling van Bayes toe die wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te berekenen door er vooraf informatie over te hebben . We kunnen de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis A berekenen, wetende dat deze aan bepaalde kenmerken voldoet (B).

In dit geval hebben we het over de waarschijnlijkheid dat de willekeurig gekozen persoon om een ​​formulier in te vullen een vrouw is. Maar het

De formule van de stelling van Bayes

Net als elke andere stelling hebben we een formule nodig.

Het lijkt ingewikkeld, maar voor alles is een verklaring. Laten we in delen denken. Wat betekent elke letter?

B is de gebeurteniswaarover we voorlopige informatie hebben.
• L de letter A (n) verwijst naar de verschillende geconditioneerde gebeurtenissen.
• In het tellergedeelte hebben we de voorwaardelijke waarschijnlijkheid . Dit verwijst naar de waarschijnlijkheid dat iets (een gebeurtenis A) zal plaatsvinden, wetende dat er ook een andere gebeurtenis (B) zal plaatsvinden. Het wordt gedefinieerd als P (A | B) en wordt uitgedrukt als: De waarschijnlijkheid van A gegeven B .
• In de noemer hebben we het equivalent van P (B) en volgt dezelfde uitleg als het vorige punt.

Een voorbeeld

Terugkomend op het vorige voorbeeld Stel dat een volwassene willekeurig wordt uitgekozen om een ​​vragenlijst in te vullen en er wordt waargenomen dat hij dat ook doet werkloos . Hoe groot is de kans dat deze uitverkorene een vrouw zal zijn?

We weten dat 39% van de actieve bevolking uit vrouwen bestaat, terwijl de rest uit vrouwen bestaat Heren . We weten ook dat het percentage werkloze vrouwen 22% bedraagt ​​en dat van mannen 14%.

Ten slotte weten we ook dat de kans dat een willekeurig gekozen persoon werkloos is 017 is. Als we de formule van de stelling van Bayes toepassen, zullen we het resultaat krijgen dat er een kans van 05 is dat een willekeurig gekozen persoon onder de werklozen

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

De stelling van Bayes is afgeleid van de combinatie van de samengestelde en absolute waarschijnlijkheidsstellingen die we in het begin hebben uitgelegd. Het belangrijkste kenmerk is dat het werkt in alle interpretaties van waarschijnlijkheid.

Omdat het kan worden gebruikt om de waarschijnlijkheid te berekenen van een oorzaak die de gebeurtenis heeft veroorzaakt het belang ervan ligt in de manier waarop het de studie van statistiek historisch heeft beïnvloed . Tegenwoordig zijn er in feite twee belangrijke scholen bekend (de ene Frequentist en de andere Bayesiaanse) die met elkaar contrasteren, uitgaande van de interpretatie die aan deze theorie wordt gegeven.

We sluiten af ​​met een nieuwsgierigheid: wist u dat elektronische spam (die van Internet e-mailadvertenties) werkt het dankzij de stelling van Bayes?